\section{群的同态和同构}

\begin{introduction}
	在前面的内容中，我们研究了群的一些性质，也对群进行了解剖。现在，我们要研究群与群之间的关系了。
	在群的大家族中，有些群之间是具有某种隐秘的等价，这种元素和运算之间一一对应的关系，导出了同构的概念；对同构的概念进行放松，就有了同态的概念。
\end{introduction}

\subsection{群的同态、同构及其性质}

\begin{definition}[同态，单、满同态，同构]
	现有群$G_1$，$G_2$，$f$是$G_1$到$G_2$的一个映射，如果满足
	$$
		f(ab)=f(a)f(b)\qquad\forall a,b \in G_1
	$$
	则称$f$是$G_1,G_2$的一个\underline{同态映射}（简称同态）。

	如果$G_1=G_2$，则称$f$为\underline{自同态}；
	如果$f$是一个单射，则称其为\underline{单同态}；
	如果$f$是一个满射，则称其为\underline{满同态}；
	如果$f$是一个满同态，则称$G_1$和$G_2$是同态的，记作$G_1 \sim G_2$；
	如果$f$是一个双射，则称$f$是一个\underline{同构}，称$G_1$和$G_2$是同构的，记作$G_1 \simeq G_2$。
\end{definition}

我们接下来研究同态和同构的一些基本性质。

\begin{theorem}[同态、同构复合仍保持原先性质]
	如果$f$是$G_1$到$G_2$的同态，$g$是$G_2$到$G_3$的同态，那么：
	\begin{enumerate}
		\item {$gf$仍旧是同态。}
		\item {$f$，$g$都是单（满）同态的话，$gf$仍旧是单（满）同态。}
		\item {$f$，$g$都是同构的话，$gf$仍旧是同构。}
		\item {$f$是同构的话，$f\rev$亦是同构。}
		\item {任取$a \in G_1$，$f(a)\rev = f(a\rev)$。}
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}
		\item {
		      $\forall a,b \in G_1$，$g(f(ab))=g(f(a)f(b))=g(f(a))g(f(b))$。
		      }
		\item {
		      $gf$是同态已经证过了，如果$f,g$是单（满）射，自然$gf$是单（满）射。
		      }
		\item {
		      由2. 显然。
		      }
		\item {
		      首先$f$和$f\rev$都是双射。
		      任取$f(a),f(b) \in G_2$，$f(a)f(b)=f(ab) \Rightarrow f\rev(f(a)f(b))=f\rev(f(ab))=ab=f\rev(f(a))f\rev(f(b))$。
		      }
		\item {
		      设$G_1$、$G_2$的单位元分别为$e_1$、$e_2$。我们先说明$f(e_1)=e_2$：$f(e_1)f(a)=f(e_1a)=f(a)=e_2f(a)$。
		      进而，$f(a)f(a)\rev = e_2 = f(e_1) = f(aa\rev) = f(a)f(a\rev)$，这说明$f(a\rev)=f(a)\rev$。
		      }
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{example}[自然同态]
	我们知道集合$A$上若有等价关系$R$，则有商集$A/R$，以及自然映射$\pi: a \mapsto \bar{a}$。
	对于群$G$和它的正规子群$H \lhd G$，我们有一个商群$G/H$。我们可以给出一个$G$到$G/H$的自然映射$\pi: G \rightarrow G/H$。

	事实上，这个自然映射是个同态，我们称之为\underline{自然同态}。

	\begin{proof}
		任取$g_1, g_2 \in G$，$\pi(g_1g_2) = \overline{g_1g_2} = \bar{g_1}\bar{g_2} = \pi(g_1)\pi(g_2)$。
	\end{proof}
\end{example}

\begin{theorem}[同态保持子群结构]
	设$f$是从$G_1$到$G_2$的同态，$H < G_1$，则$f(H) < G_2$。
\end{theorem}

\begin{proof}
	首先$e_1 \in H$，进而$e_2 \in f(H)$，故$f(H) \ne \varnothing$。

	任取$a_2,b_2 \in f(H)$，总存在$a_1,b_a \in H$使得$f(a_1)=a_2$，$f(b_1)=b_2$。
	$a_2b_2\rev = f(a_1)f(b_1)\rev = f(a_1)f(b_1\rev) = f(a_1b_1\rev) \in f(H)$。这说明了$f(H) < G_2$。
\end{proof}

\subsection{核，同态基本定理}

\begin{definition}[同态的核]
	设$f$是$G_1$到$G_2$的同态。则$G_2$单位元$e_2$的完全原像$\{a \in G_1 \mid f(a) = e_2\}$称为同态$f$的核，记为$\ker f$。
\end{definition}

\subsubsection{同态核的性质}

\begin{theorem}[核是原像的正规子群]
	设$f$是$G_1$到$G_2$的同态，则$\ker f \lhd G_1$。
\end{theorem}

\begin{proof}
	我们先证明$\ker f < G_1$。任取$k_1,k_2 \in \ker f$，
	$f(k_1k_2\rev) = f(k_1)f(k_2\rev)=f(k_1)f(k_2)\rev = e_2e_2\rev = e_2$，
	因此$k_1k_2\rev \in \ker f$，故而$\ker f < G_1$。

	接下来说明$\ker f \lhd G_1$，任取$g \in G_1$，$k \in \ker f$，
	$f(gkg\rev)=f(g)f(k)f(g\rev)=f(g)f(g)\rev = e_2$，进而$gkg\rev \in \ker f$，故$\ker f \lhd G_1$。
\end{proof}

\begin{theorem}[单同态的核只包括原像单位元]
	设$f$是$G_1$到$G_2$的同态，则$f\text{是单同态} \Leftrightarrow \ker f = \{e_1\}$。
\end{theorem}

\begin{proof}
	首先证明$\Rightarrow$。一定地，$f(e_1)=e_2\in \ker f$；
	因为$f$是单同态，故任取$g \in G_1 - \{e_1\}$，$f(g) \ne f(e_1) = e_2$，自然$g \notin \ker f$。
	所以$\ker f = \{e_1\}$。

	接下来证明$\Leftarrow$。采用反证法，假定有$a \ne b \in G_1$满足$f(a)=f(b)$，
	那么$f(a)f(b)\rev = e_2 = f(ab\rev)$，进而$ab\rev \in \ker f$，但是因为$a \ne b$，所以$ab\rev \ne e_1$，矛盾。
\end{proof}

\subsubsection{同态基本定理}

\begin{theorem}[同态基本定理]
	设$f$是$G_1$到$G_2$的满同态，则$G_1/\ker f \simeq G_2$。
\end{theorem}

\begin{proof}
	我们先记$N = \ker f$，
	我们先给出一个$\phi: G_1/N \rightarrow G_2$，满足$\phi(aN) = f(a)$。

	首先，我们先说明这是一个良定义（Well-defined）的映射：
	假定$a_1N = a_2N$（$a_1, a_2 \in G_1$），则$a_1\rev a_2 \in N$，
	所以$f(a_1\rev a_2)=e_2 = f(a_1)\rev f(a_2)$，因此$f(a_1)=f(a_2)$，进而$\phi(a_1N) = \phi(a_2N)$。
	这说明了这是一个映射。（相同的东西映射到的东西相同）

	接下来说明这个一个同态。任给$a_1,a_2 \in G$，
	$\phi(a_1Na_2N)=\phi(a_1a_2N)$（这是因为$N \lhd G_1$），
	而$\phi(a_1a_2N)=f(a_1a_2)=f(a_1)f(a_2)=\phi(a_1N)\phi(a_2N)=\phi(a_1Na_2N)$。
	这说明了$\phi$是同态。

	下一步，我们说明这是满同态。任给$g_2 \in G_2$，因为$f$是满同态，所以总存在$g_1 \in G_1$，使得$f(g_1)=g_2$。
	因此$\phi(g_1N) = g_2$。

	最后，我们说明这是单同态。假定$\phi(a_1N)=\phi(a_2N)$，这说明$f(a_1)=f(a_2)$，进而$f(a_1)\rev f(a_2)=e_2 = f(a_1\rev a_2)$，
	因此$a_1\rev a_2 \in N$，所以$a_1N = a_2N$。这说明了$\phi$是一个单同态。

	综上所述，$\phi$是一个同构，从而$G_1/N \simeq G_2$。
\end{proof}

\begin{myremark}[如何理解同态基本定理——同态和同构是结构的保留。]
	\negthickspace 为了方便表述，我们先定义：$f$是$G_1$到$G_2$的同态，$N = \ker f$。

	前面的一系列定理说明了一件事：如果$G_1$中二者$a,b$的同态像$f(a)$，$f(b)$相同，则他俩落在$G_1/N$的同一个元素里。
	这说明在一个同态之中：$G_1$被一组一组打包了起来，相同组的元素的自然映射是相同的（实际上就是一个等价类），这些等价类都是$\ker f$的“平移”\footnote{参见上个 Section 的笔者注1.3.2}，
	而相同组的元素，它们经过同态映射过去的像是相同的。这不是巧合，这是$\ker f$的性质，而$\ker f$是整个平移的起点，因此我们可以说这是同态的“核心”（kernel）；
	在另一边，$G_2$之中有一些元素使打死也无法映射到的，另一部分元素，它们的完全原像正好是前面$G_1$中的等价类。
	到现在，我们可以感觉到各个组（也就是$G_1/N$）和$G_2$可被映射到的元素（也就是$f(G_1)$）中潜在的同构了。

	在这样的基础下，同态基本定理就是把一个同态通过“减”和“除”两个操作挖掘出其背后所蕴含的同构。

	第一步是减，体现在“满同态”三字上。满同态，在无形之中修剪掉了$G_2$中无法被映射到的元素。
	事实上，因为$f(G_1) < G_2$，任何一个同态$f$都有一个对应的满同态$f_1: G_1 \rightarrow f(G_1)$。

	第二步是除，体现在商群上。说白了，就是把整个$G_1$里的东西打包成组（等价类），把这个等价类整体和$f(G_1)$建立起联系。
	而这种联系显然是一对一的，因为所有映射到一个像的元素都在同一个等价类。

	至此，我们构筑了一个从等价类映射到同态象集的同构，是为同态基本定理。
\end{myremark}

\begin{theorem}[同态基本定理在子群上的推论]
	$G_1, G_2$为群，$f: G_1 \to G_2$ 是满同态，记$N = \mathrm{ker}f$。
	\begin{enumerate}
		\item $f$建立起$G_1$中包含$N$的子群和$G_2$的子群间的一一对应。
		\item 上述对应将正规子群映成正规子群。
		\item 若$H\lhd G_1$，$N\subseteq H$，则 $G_1/H \simeq G_2/f(H)$。
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{remark}
	(1) 中所提的一一映射实际上为
	$f^*: \{ K_1 < G_1 \mid N \subseteq K_1 \} \longrightarrow \{ K_2 < G_2 \}$，
	具体而言，$f^*: K \mapsto f(K)$。
\end{remark}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}
		\item {
		      先证明$f^*$是单射。任取$K_1 \ne L_1 < G_1$，使得$N \subseteq K_1$，$N \subseteq L_1$，
		      总存在一个$x \in (K_1 \cup L_1) - (K_1 \cap L_1)$，不妨令$x \in K_1$。
		      如果$f(x) \in f(L_1)$，则总存在$y \in L_1$，$f(x)=f(y) \Rightarrow f(xy\rev)=e_2 \Rightarrow xy\rev \in N \Rightarrow x \in Ny \subseteq L_1$，这与$x$的选取矛盾。
		      因此$f(x) \notin f(L)$，进而$f(K_1) \ne f(L_1)$，进而$f^*$是单射。

		      接下来证明$f^*$是满射。任取$K_2 < G_2$，任取$a,b \in f\rev(K_2)$，$f(ab\rev)=f(a)f(b)\rev\in K_2$，
		      因此$ab\rev \in f\rev(K_2)$，进而$f\rev(K_2) <G$。又因为$e_1 \in K_2$，所以$N = f\rev(\{e_1\}) \subseteq f\rev(K_2)$
		      }
		\item {
		      任取$K_1 \lhd G_1$，使得$N \subseteq K_1$。我们考察$f(K_1)$的性质。
		      任取$g_2 \in G_2$，以及任取$y \in f(K_1)$，这样总存在$x \in K_1$使得$f(x)=y$，总存在$g_1 \in G_1$使得$f(g_1)=g_2$。
		      $g_2yg_2\rev = f(g_1)f(x)f(g_1)\rev = f(g_1xg_1\rev)$，因为$K_1 \lhd G_1$，$g_1xg_1\rev \in K_1$，因此$g_2yg_2\rev = f(g_1xg_1\rev) \in f(K_1)$，
		      这直接说明了$f(K_1) \lhd G_2$。
		      }
		\item {
		      我们先给出映射
		      $$\phi:G_1 \map G_2/f(H)\qquad g \mapsto f(g)f(H)$$
		      事实上，令$\pi_2$是$G_2$到$G_2/f(H)$的自然同态，$\phi=\pi_2\circ f$。
		      因为$\pi_2$和$f$都是满同态，故$\phi$也是满同态。

		      此时考虑$\ker \phi = \phi\rev(\{H\})\tc \ker \phi = f\rev(f(H))=H$，
		      运用同态基本定理，$G_1/\ker \phi = G_1/H \simeq G_2/f(H)$。
		      }
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}[定理1.4.6在自然同态下]
	设 $G$ 是群，$N \lhd G$，$\pi$ 是 $G$ 到 $G/N$ 的自然同态．则 $\pi$ 建立了 $G$ 中包含 $N$ 的子群与 $G/N$ 的子群间的双射，而且把正规子群对应到正规子群．
	又若 $H \lhd G$，$N \subseteq H$，则 $G/H \simeq (G/N)/(H/N)$。
\end{corollary}

\begin{proof}
	这实际上就是将定理1.4.6的同态$f$替换成$\pi: G \map G/N$。
\end{proof}

\begin{remark}[研究自然同态就是研究所有同态]
	\begin{center}
		\begin{codi}
			\obj{
				G_1 &  ~ & G_2 \\
				~	&	G_1/\ker \phi\\
			};
			\mor G_1 \phi:-> G_2;
			\mor G_1 \pi:-> (G_1/ker phi);
			\mor G_2 -> (G_1/ker phi);
			\mor (G_1/ker phi) \simeq:-> G_2;
		\end{codi}
	\end{center}
	就像上面的交换图所示，每一个满同态，它的像实际上都同构于某一个自然同态的同态像。
	因此，我们可以说，我们研究了一个自然同态，就相当于研究了以这个自然同态的单位元为同态核的每一个同态，因为它们的同态象同构于这个自然同态的同态象。
\end{remark}

\begin{theorem}
	设 $G$ 是群，$N \triangleleft G$，$\pi$ 是 $G$ 到 $G/N$ 的自然同态，$H < G$，则
	\begin{enumerate}

		\item $HN$ 是 $G$ 中包含 $N$ 的子群，且
		      $$
			      HN = \pi^{-1}(\pi(H))
		      $$
		      即 $HN$ 是 $H$ 在 $\pi$ 映射下的象集合 $\pi(H)$ 的完全原象 $\pi^{-1}(\pi(H))$。

		\item $(H \cap N) \triangleleft H$，且 $\ker(\pi|_H) = H \cap N$。

		\item $HN/N \cong H/(H \cap N)$。
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}
		\item {
		      任取$h_1,h_2 \in H$，$n_1,n_2 \in N$（也即任取$h_1n_1,h_2n_2 \in HN$），这时有
		      \begin{align*}
			      h_1n_1(h_2n_2)\rev & = h_1n_1n_2\rev h_2\rev                        \\
			                         & = h_1h_2\rev h_2 h_1\rev h_1n_1n_2\rev h_2\rev \\
			                         & = (h_1h_2\rev) h_2 (n_1n_2\rev) h_2\rev
		      \end{align*}
		      因为$h_1h_2\rev \in H$，$n_1n_2\rev \in N \tc h_2n_1n_2\rev h_2\rev \in N$，
		      所以$h_1n_1(h_2n_2)\rev \in HN$，进而$HN < G$。同时，有
		      \begin{align*}
			      \pi\rev (\pi(H)) & = \pi\rev (\{hN \mid h \in H\})    \\
			                       & = \{hn \mid h \in H, n\in N\} = HN
		      \end{align*}
		      }
		\item {
		      任取$h \in H, t \in H \cap N$，一方面$t \in H\tc hth\rev \in H$，另一方面$t \in N \tc hth\rev \in N$，
		      故$hth\rev \in H\cap N$，进而$H\cap N \lhd H$。而显然，$\ker (\pi |_H) = H \cap \ker \pi = H \cap N$。
		      }
		\item {
		      我们有$\pi|_H: H \map H/N$，它的同态核$\ker(\pi|_H) = H \cap N$。
			  另外$H/N=HN/N$，由同态基本定理，$H/(H \cap N) \simeq H/N =HN/N$。

		      \begin{center}
			      \begin{codi}
				      \obj{
					      H	&	HN	\\
					      |(T)| H/H\cap N 	&	HN/N	\\
				      };
				      \mor H \pi:-> (HN/N);
				      \mor H {\pi|_H}:-> T;
				      \mor HN \pi:-> (HN/N);
			      \end{codi}
		      \end{center}
		      }
	\end{enumerate}
\end{proof}

